do演算子とバックドア基準・フロントドア基準

do演算子を定義し介入行為をモデル化することで、因果関係について記述できるようにする。具体的には、変数$X$に対して、意図的に介入した場合に結果$Y$が起こる確率を

$$ P(Y|do(X) $$

と表現する。例えば、ある薬$D$が寿命$L$に与える影響を知りたい場合は、$P(L|do(D))$のように表現できる。交絡は、$P(Y|X)$と$P(Y|do(X))$の不一致である。

このdo演算子は単なる表現法に留まらず、因果関係を推定するに当たって数学的な操作を可能とする"演算子"である。因果推論の科学¹には、do演算子の様々なメリットが記載されているが、金本本²の「バックドア基準やフロントドア基準を統合したdo計算法」という説明が分かりやすかった。

ある変数$X$から$Y$への因果効果を推定する際に、ノード間をブロックする条件を満たすことで、交絡因子を見出す方法。

この2つの条件を満たすとき、$Z$は$X$と$Y$についてバックドア基準を満たす。バックドア基準を満たすとき、$Z$について条件付けることで、因果効果を識別することが可能となる。

  graph LR
    Z --> X --> Y
    Z --> Y

見るからに$Z$は交絡因子だが、バックドア基準を満たしている。do演算子を用いると以下のように適用できる。

$$ P(Y|do(X)) = \sum_{Z} P(Y|X, Z)P(Z) $$

バックドア基準を満たすには、交絡因子が全て観測されている必要がある。未観測の変数が存在する場合には、媒介変数を利用したフロントドア基準を用いて、因果効果を推定する。フロントドア基準の条件は以下。

  graph LR
    X --> M --> Y
    Z --> X
    Z --> Y

$Z$は未観測の交絡因子である。この場合、$M$という媒介変数により、$X$から$Y$への因果効果を推定することができる。do演算子を用いると以下のように適用できる。

$$ P(Y|do(X)) = \sum_{M} P(M|do(X)) \sum_{Y} P(Y|M) $$